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为什么解的个数也等于基础解系的秩

发表时间：2024-07-31 23:40:10 来源：网友投稿

解的个数等于基础解系的秩是因为基础解系是线性方程组的解的一组基础解向量，它们可以线性组合得到方程组的所有解。

而线性方程组的解的个数等于基础解系的秩。在线性代数中，我们可以使用矩阵来表示线性方程组。如果一个线性方程组有n个未知数和m个方程，那么可以将其表示为一个m×n的矩阵A与一个n×1的列向量X的乘积等于一个m×1的列向量B，即AX=B。当方程组有解时，我们可以使用高斯消元法或矩阵的行简化形式来求解。通过行简化我们可以得到一个行简化阶梯形矩阵R。其中R的非零行的个数就是方程组的秩r。根据线性代数的基本定理，一个m×n的矩阵A的秩r等于它的列秩和行秩。而对于一个行简化阶梯形矩阵R来说它的非零行的个数就等于它的列秩，也等于方程组的秩r。当方程组有解时，我们可以将R表示为一个r×n的矩阵，其中前r行称为主变量列，后面的n-r行称为自由变量列。主变量列对应的是基础解系，它们是线性无关的解向量。自由变量列对应的是非主变量，可以取任意实数。所以方程组的解可以表示为基础解系与自由变量的线性组合。而基础解系的个数就是主变量的个数，也等于方程组的秩r。所以解的个数等于基础解系的秩。

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