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x^n/n的和函数的收敛域

发表时间：2024-07-31 23:40:39 来源：网友投稿

为了求解函数$x^n$的和函数的收敛域，首先需要明确$x$和$n$的取值范围。

根据函数$x^n$的定义，$x$可以取任意实数，而$n$一般是自然数（$n \\in \\mathbb{N}$）。所以我们可以将问题拆分为两种情况讨论：情况1：$n$为任意实数（$n \\in \\mathbb{R}$）时，就是求函数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}$的收敛域。情况2: $n$为自然数（$n \\in \\mathbb{N}$）时，就是求函数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}$的收敛域。情况1的求解：根据幂级数的收敛性质，当$|x| < 1$时，该幂级数会绝对收敛。当$|x| > 1$时，该幂级数会发散。当$x = 1$时，该幂级数会条件收敛。所以情况1的收敛域为$(-1, 1]$。情况2的求解：当$n$为自然数时，函数$x^n$的求和将产生不同的收敛域。具体来说当$x$为正数时，该求和发散；当$x$为负数时，该求和会交替收敛和发散；当$x$为零时，该求和显然为零。综上所述函数$x^n$的和函数的收敛域为：- 对于情况1，收敛域为$(-1, 1]$。- 对于情况2，收敛域为$x=0$或者$x$为负数。

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