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指数函数渐近线怎么求

发表时间：2024-07-31 23:46:27 来源：网友投稿

渐近线显示了函数图象（曲线）的一个极限特征，其定义是：当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

渐近线特点：无限接近，永不相交。根据渐近线的位置不同，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。理解以下三个重要结论：\r (ⅰ)若当x→x0时有y→±∞，则函数的图象有垂直渐近线x=x0。通常函数在x=x0处无定义。\r 【例】函数y=(x-1)/(x+1)。当x→-1时，y=1-2/(x+1)→±∞（推导：当x→-1时，x+1→0，1/(x+1)→±∞），故x=-1为函数图象的垂直渐近线。还有一点要注意，为什么会有±∞出现呢？正负是由x接近-1的方向决定的，如果x从-1的左侧接近-1（即x0，y=1-2/(x+1)>0，即表示y→+∞；反之同理。\r (ⅱ)若当x→±∞时有y→y0，则函数的图象有水平渐近线y=y0。\r 【例】函数y=x/(x^2+1)。当x→±∞时，y=x/(x^2+1)=1/[x+(1/x)]→0（推导：当x→±∞时，1/x→0，x+(1/x) →±∞，1/[x+(1/x)]→0），故y=0为函数图象的水平渐近线。\r (ⅲ)若当x→±∞时有y/x→a且(y-ax)→b，则函数的图象有斜渐近线y=ax+b（a≠0）。\r 【例】函数y=(2x^2-3x+3)/(x-1)。当x→±∞时，y/x→2（推导：当x→±∞时，1/x→0， 3/x→0，y/x=(2x-3+3/x)/(x-1)→(2x-3)/(x-1)=(2-3/x)/(1-1/x)→2/1），y-2x→-1（推导：当x→±∞时，1/x→0；3/x→0，y-2x =(2x^2-3x+3)/(x-1)-2x= (-x+3)/(x-1)= (-1+3/x)/(1-1/x)→-1/1），故y=2x-1为函数图象的斜渐近线。

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