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方差与期望的转换公式推导

发表时间：2024-07-31 23:47:25 来源：网友投稿

方差与期望的转换公式通常指的是马尔可夫不等式（Markov's Inequality），它表达了一个随机变量的期望与其方差之间的关系。

马尔可夫不等式的数学表达式如下：对于任意实数 x，都有 E(X) >= x * Var(X) 或者 E(X) <= x * Var(X)其中，E(X) 表示随机变量 X 的期望，Var(X) 表示随机变量 X 的方差。这个公式的推导过程实际上很简单。我们先来看期望的定义：E(X) = Σ[x * P(X=x)]，其中 x 是随机变量 X 的取值，P(X=x) 是随机变量 X 取值为 x 的概率。然后我们再来看方差的定义：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2，其中 E(X^2) 是随机变量 X 的平方的期望。如果我们将 X 替换为 X-E(X)，那么 X^2 就变成了 (X-E(X))^2，这是一个二次函数，其期望为 Var(X)。所以我们有 Var(X) = E((X-E(X))^2)。所以马尔可夫不等式实际上是来自于这样一个事实：对于任意实数 x，都有 (x-E(X))^2 >= 0，也就是说，(X-E(X))^2 的期望总是大于等于 0。所以我们有 Var(X) = E((X-E(X))^2) >= 0。另一方面根据期望的线性性质，我们有 E(X) = E(X-E(X) + E(X)) = E(X-E(X)) + E(X)。所以我们有 E(X) >= x * Var(X)，其中 x 是任意实数。这就是马尔可夫不等式的推导过程。

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