当前位置：新励学网 > 秒知问答 > 连续奇数的立方和公式推导

连续奇数的立方和公式推导

发表时间：2024-07-31 23:53:58 来源：网友投稿

假设我们要求连续奇数从1开始的前n个数的立方和，可以表示为：

1、^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n-1)^3首先我们可以观察到每个奇数的立方可以表示为 (2k-1)^3，其中k表示该奇数的位置。

所以我们可以将上述式子表示为：(2(1)-1)^3 + (2(2)-1)^3 + (2(3)-1)^3 + ... + (2n-1)^3即：

(1)^3 + (3)^3 + (5)^3 + ... + (2n-1)^3接下来，我们将利用数学归纳法来证明连续奇数的立方和的公式。基础步骤：当n = 1 时，我们只有一个奇数 1，其立方和为 1^3 = 1，公式成立。归纳假设：假设当 n = k 时，连续奇数的立方和公式成立，即： 1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2k-1)^3 = [(k)(2k-1)]^2归纳步骤：我们将证明当 n = k+1 时，连续奇数的立方和公式也成立。要证明的式子为： 1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 = [(k+1)(2(k+1)-1)]^2我们可以利用归纳假设来化简左侧的式子： 1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2k-1)^3 + (2(k+1)-1)^3 = [(k)(2k-1)]^2 + (2(k+1)-1)^3 = [(k)(2k-1)]^2 + [2(k+1)-1]^3 = (4k^2 - 4k + 1) + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 + 4k^2 - 4k + 1 = 8k^3 + 16k^2 + 2k + 2 = [(k+1)(2(k+1)-1)]^2左侧式子经过化简后得到与右侧相同的形式，所以根据归纳法，我们可以得出连续奇数的立方和的公式：

1、^3 + 3^3 + 5^3 + ... + (2n-1)^3 = [(n)(2n-1)]^2这就是连续奇数的立

免责声明：本站发布的教育资讯（图片、视频和文字）以本站原创、转载和分享为主，文章观点不代表本网站立场。

如果本文侵犯了您的权益，请联系底部站长邮箱进行举报反馈，一经查实，我们将在第一时间处理，感谢您对本站的关注！