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增广矩阵通解怎么求

发表时间：2024-08-01 00:10:55 来源：网友投稿

要求解增广矩阵的通解，通常是在解线性方程组时使用的方法。

以下是一般步骤：

1. 将增广矩阵写成增广矩阵形式 [A|B]，其中 A 是系数矩阵，B 是右侧的常数列。

2. 使用高斯消元法或矩阵的行变换来将增广矩阵化为行阶梯形式（也称为梯形矩阵）或行最简形式（也称为简化行阶梯形式）。

3. 根据行阶梯形式或简化行阶梯形式，从最后一行开始向上逐步回代，以求出每个变量的解。

4. 对于自由变量，引入参数（通常用字母表示，如 t, s, u 等）来表示它们，以得到通解。

5. 将参数化的自由变量加入到特解中，从而得到增广矩阵的通解。

以下是一个示例：考虑线性方程组：```2x + y - z = 1x - 3y + 2z = 73x - 2y + 3z = 5```首先将其写成增广矩阵形式 [A|B]：```[ 21 -1 |1 ][ 1 -32 |7 ][ 3 -23 |5 ]```然后通过高斯消元法将其化为行阶梯形式：```[ 21 -1 |1 ][ 0 -53 |6 ][ 0 -56 |2 ]```接下来，从最后一行开始回代：从第三行：-5z + 6w = 2，得到 z = -2w - 2/5从第二行：-5y + 3z = 6，代入 z 的值：-5y + 3(-2w - 2/5) = 6，得到 y = 6w + 2/5从第一行：2x + y - z = 1，代入 y 和 z 的值：2x + (6w + 2/5) - (-2w - 2/5) = 1，得到 x = -4w - 1/5现在我们有了自由变量 w，可以将其参数化，例如令 w = t，其中 t 是任意实数。然后将参数化的自由变量加入特解中，得到通解：```x = -4t - 1/5y = 6t + 2/5z = -2t - 2/5```这就是增广矩阵 [A|B] 的通解。通解表示了方程组的无穷多解。不同的 t 值将产生不同的解。

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