t分布期望和方差的证明

t分布是由正态分布和卡方分布推导出来的，所以其期望和方差也可以从这两个分布的性质推导得出。

假设有一个随机变量 $X$，满足 $X \\sim N(\\mu, \\sigma^2)$，另外有一个随机变量 $Y$，满足 $Y \\sim \\chi^2(n)$，且 $X$ 和 $Y$ 独立。则定义随机变量 $T$ 如下：$$T = \\frac{X}{\\sqrt{Y}}$$这个随机变量 $T$ 就是自由度为 $n$ 的 t 分布。现在我们来证明 t 分布的期望和方差。期望：$$E(T) = E\\left(\\frac{X}{\\sqrt{Y}}\\right)$$由于 $X$ 和 $Y$ 独立，所以可以将期望拆开：$$E(T) = \\frac{1}{\\sqrt{n}} E\\left(\\frac{X}{\\sqrt{Y}}\\right)$$根据正态分布的期望和方差公式，可以得到：$$E(X) = \\mu$$$$Var(X) = \\sigma^2$$所以：$$E(T) = \\frac{1}{\\sqrt{n}} \\frac{\\mu}{\\sqrt{E(Y)}}$$接下来需要求出 $E(Y)$。根据卡方分布的定义，$Y$ 是 $n$ 个独立的标准正态分布的平方和，所以有：$$E(Y) = E\\left(\\sum_{i=1}^n Z_i^2\\right)$$其中 $Z_i$ 表示标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布的期望和方差公式，可以得到：$$E(Z_i^2) = Var(Z_i) + E(Z_i)^2 = 1$$所以：$$E(Y) = \\sum_{i=1}^n E(Z_i^2) = n$$将 $E(Y)$ 代入上式，可以得到：$$E(T) = \\frac{\\mu}{\\sqrt{n}}$$所以t 分布的期望为 $\\mu/\\sqrt{n}$。方差：$$Var(T) = Var\\left(\\frac{X}{\\sqrt{Y}}\\right)$$由于 $X$ 和 $Y$ 独立，所以可以将方差拆开：$$Var(T) = \\frac{1}{n} Var\\left(\\frac{X}{\\sqrt{Y}}\\right)$$根据正态分布的方差公式，可以得到：$$Var\\left(\\frac{X}{\\sqrt{Y}}\\right) = \\frac{\\sigma^2}{E(Y)}$$所以：$$Var(T) = \\frac{\\sigma^2}{nE(Y)}$$将 $E(Y)$ 的值代入，可以得到：$$Var(T) = \\frac{\\sigma^2}{n} \\cdot \\frac{1}{n-2}$$所以t 分布的方差为 $\\frac{\\sigma^2}{n} \\cdot \\frac{1}{n-2}$。