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复变函数极限定理证明

发表时间：2024-08-01 00:15:17 来源：网友投稿

先考虑n = 1的情况。

对于一个有界闭集中的实数列，取它的一个单调子列。不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，这个子列必然收敛。又因为集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，于是我们找到了收敛的子列，所以集合是序列紧致的。对于证明的思路是取多次子列。设为一个有界序列，则n个实数列都是有界数列。于是存在的子列使得收敛。但是仍是有界数列，因而存在子列使得也收敛（注意这里必然是收敛的）。在进行类似的n次操作后，我们就可以得到一个子列，使得都收敛，也就是说存在子列收敛。由于集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，所以集合是序列紧致的，证毕。

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