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求矩阵的特征值和特征向量的方法

发表时间：2024-08-01 00:28:37 来源：网友投稿

求解矩阵的特征值和特征向量的方法如下：设 $A$ 是一个 $n$ 阶矩阵，$\\lambda$ 是它的一个特征值，$v$ 是它对应的非零特征向量。

1. 求解特征值：解 $det(A - \\lambda I) = 0$ 得到 $A$ 的特征值 $\\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_n$。

2. 求解特征向量：对于每一个特征值 $\\lambda_i$，解 $(A - \\lambda_i I)x = 0$，得到对应的特征向量 $v_i$。在求解特征向量时，需要注意：- 方程 $(A - \\lambda_i I)x = 0$ 有非零解的条件是 $|A - \\lambda_i I| =0$，否则矩阵 A 没有对应特征向量。- 求解特征向量时，可以使用高斯消元法或克拉默法则求解矩阵方程。对于重复的特征值，可以使用以下方法求解对应的特征向量：- 计算出对应特征值的特征向量空间的维数。- 对于 $n > 1$ 的情况，先用高斯消元法把 $(A - \\lambda_iI)x=0$ 化为梯形矩阵，并指定 $x_n$ 为 $1$，最后从下向上求解出 $x_1,\\cdots,x_{n-1}$。以上就是求解矩阵的特征值和特征向量的方法。

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