fx为奇函数原函数为偶函数的推导
发表时间：2024-08-01 00:29:51
来源：网友投稿
当$f(x)$是奇函数时，原函数为$F(x)=\\int f(x) dx$必定是偶函数。
因为$f(x)$是奇函数，所以有$f(-x)=-f(x)$。所以当$x$从$-a$到$a$变化时，$F(x)$的变化量为$$F(a)-F(-a)=\\int_{-a}^a f(x)dx+\\int_a^{-a}f(x)dx=2\\int_0^af(x)dx$$因为$f(x)$是奇函数，所以有$$\\int_{-a}^a f(x)dx=\\int_{-a}^0f(x)dx+\\int_0^af(x)dx$$又因为$f(x)$是奇函数，所以$$\\int_{-a}^0f(x)dx=-\\int_0^a f(-x)dx=-\\int_0^af(x)dx$$将上述两个式子代入前面的式子，可得$$F(a)-F(-a)=2\\int_0^af(x)dx=2\\int_{-a}^0f(x)dx=2F(0)$$所以当$x$从$-a$到$a$变化时，$F(x)$的变化量只与$a$无关，与$a$取值的方向也无关，即$F(x)$关于原点对称，所以为偶函数。
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