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不定积分平方和差公式推导

发表时间：2024-08-01 00:31:21 来源：网友投稿

差公式推导：要推导平方和差公式，我们先考虑一个简单的情况，即求解 $\\int (f(x))^2 dx$。

设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个不定积分，即 $F'(x) = f(x)$。则根据牛顿-莱布尼茨公式，$\\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) - \\int F'(x)f(x) dx$。由于 $F'(x) = f(x)$，上式可以简化为 $\\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) - \\int f(x) f(x) dx$。进一步简化为 $\\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) - \\int (f(x))^2 dx$。移项得到 $\\int (f(x))^2 dx + \\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x)$。合并同类项得到 $2 \\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x)$。最后将等式两边除以2，得到平方和差公式：$\\int (f(x))^2 dx = \\frac{1}{2} F(x)f(x) + C$，其中 $C$ 是常数。对于差公式我们只需要稍作修改即可。设 $G(x)$ 是 $g(x)$ 的一个不定积分，即 $G'(x) = g(x)$。则根据牛顿-莱布尼茨公式，$\\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) - \\int F'(x)f(x) dx$。由于 $F'(x) = f(x)$，上式可以简化为 $\\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) - \\int f(x) g(x) dx$。进一步简化为 $\\int (f(x))^2 dx = F(x)f(x) - \\int f(x) g(x) dx$。移项得到 $\\int (f(x))^2 dx + \\int f(x) g(x) dx = F(x)f(x)$。合并同类项得到 $\\int (f(x))^2 dx + \\int f(x) g(x) dx = F(x)f(x)$。最后我们可以将方程两边有理分式相除得到差公式：$\\int (f(x))^2 dx - \\int (g(x))^2 dx = F(x)g(x) + C$，其中 $C$ 是常数。这样我们就推导出了平方和差公式。

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