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为什么n个n维列向量线性相关就能推出行列式等于0

发表时间：2024-08-01 00:32:05 来源：网友投稿

（为了书写方便，以下证明行向量的情况，列向量完全类似。）

设 α₁ = (a₁₁, a₁₂, ..., a₁_n), α₂ = (a₂₁, a₂₂, ..., a₂_n), ..., α_n =(a_n₁, a_n₂, ..., a_{nn}) 是 n 个 n维向量，如果那个吗线性相关，则意味着存在 α_m (1 ≤ m ≤ n) 可以被其他向量线性表示为：

于是对于以 α₁ , α₂ , ..., α_n 为行向量组成的 n 阶方阵：

逐次对 A 做：”将 A 的从 1 到 n 的除去第 m 行外的第 i 行乘以 -kᵢ 加到第 m 行上“ 的行初等变换，这会得到：

而行初等变换：将 A 的从 1 到 n 的除去第 m 行外的第 i 行乘以 -kᵢ 加到第 m 行上，相当于对 A 右乘初等变换矩阵：

为什么呢？这，可以通过直接进行矩阵乘法运算验证，大家自己试一试就知道了！

于是有：

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