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定积分的对称性奇偶性公式

发表时间：2024-08-01 00:59:13 来源：网友投稿

首先我们考虑定积分的对称性。

假设函数f(x)在区间[a, b]上可积，且f(x)在区间[a, b]上关于x对称。根据定积分的定义，我们知道∫(f(x))dx = ∫(f(a + (b-a) * x))dx，其中x在[0, 1]之间。由于f(x)在区间[a, b]上关于x对称，所以f(a + (b-a) * x) = f(b + (a-b) * x)，所以：∫(f(x))dx = ∫(f(a + (b-a) * x))dx = ∫(f(b + (a-b) * x))dx由于x在[0, 1]之间，所以b + (a-b) * x也在[a, b]之间，所以：∫(f(x))dx = ∫(f(a + (b-a) * x))dx = ∫(f(b + (a-b) * x))dx = ∫(f(x))dx所以我们得到结论：对于一个在区间[a, b]上关于x对称的函数f(x)，其定积分满足：∫(f(x))dx = 0。接下来我们考虑定积分的奇偶性。假设函数f(x)在区间[a, b]上可积，且f(x)在区间[a, b]上为偶函数。根据定积分的定义，我们知道∫(f(x))dx = 2 * ∫(|x| / 2) * f((|x| / 2))dx，其中x在[-1, 1]之间。由于f((|x| / 2))是偶函数，所以其在对称区间[-1, 1]上的定积分等于其在区间[0, 1]上的定积分。所以我们得到结论：对于一个在区间[a, b]上为偶函数的函数f(x)，其定积分满足：∫(f(x))dx = 2 * ∫(|x| / 2) * f((|x| / 2))dx = ∫(|x| / a) * f((|x| / a))dx，其中x在[-a, a]之间。

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