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两个无穷小之和为无穷小的证明

发表时间：2024-08-01 01:04:20 来源：网友投稿

要证明两个无穷小之和为无穷小，需要根据无穷小的定义进行推导。

根据无穷小的定义，对于任意一个无穷小x，存在正数ε1，使得当自变量趋于某个特定值时，x的绝对值小于ε1。类似地对于任意一个无穷小y，存在正数ε2，使得当自变量趋于某个特定值时，y的绝对值小于ε2。我们设无穷小x与y的和为z，将z表示为x+y。对于z来说我们需要找到一个正数ε3，使得当自变量趋于某个特定值时，z的绝对值小于ε3。设ε3 = ε1 + ε2。现在我们来证明当自变量趋于某个特定值时，z的绝对值小于ε3。由于x是一个无穷小，所以存在一个足够小的区间，使得当自变量落在这个区间时，x的绝对值小于ε1。类似地由于y是一个无穷小，也存在一个足够小的区间，使得当自变量落在这个区间时，y的绝对值小于ε2。现在我们只需要考虑自变量同时落在这两个区间内的情况。在这种情况下，x和y的绝对值分别小于ε1和ε2。根据绝对值的性质，我们可以得出：|x + y| ≤ |x| + |y| < ε1 + ε2 = ε3所以当自变量落在这两个区间内时，z的绝对值小于ε3。由此可见z是一个无穷小。所以我们证明了两个无穷小之和为无穷小。

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