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柯西不等式3种变形公式

发表时间：2024-08-01 09:46:13 来源：网友投稿

柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality）是一个在数学中常用的不等式，它有多种形式。

假设有两个向量 \\( \\mathbf{a} = (a_1, a_2, \\ldots, a_n) \\) 和 \\( \\mathbf{b} = (b_1, b_2, \\ldots, b_n) \\)，则柯西-施瓦茨不等式可以表示为：

1. **标准形式**：\\[ \\left( \\sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\right)^2 \\leq \\left( \\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \\right) \\left( \\sum_{i=1}^{n} b_i^2 \\right) \\]

2. **向量内积形式**：\\[ |\\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b}|^2 \\leq |\\mathbf{a}|^2 |\\mathbf{b}|^2 \\]其中，\\( \\mathbf{a} \\cdot \\mathbf{b} \\) 表示向量 \\( \\mathbf{a} \\) 和 \\( \\mathbf{b} \\) 的内积，\\( |\\mathbf{a}| \\) 表示向量 \\( \\mathbf{a} \\) 的模。

3. **三角形形式**：\\[ |a_1 b_2 - a_2 b_1| \\leq \\sqrt{(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)} \\]这三种形式都是柯西-施瓦茨不等式的等价表达式，可以根据具体的问题选择使用其中的任意一种形式。

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