三弦定理
发表时间：2024-08-01 10:05:25
来源：网友投稿
由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和证明：连BD、CD, 由圆的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→AB·CP－CD·AP=0→同理→AC·BP－BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP－CD·AP)=0, AC(AC·BP－BD·AP)=0,两式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托勒密定理)。
由AC外分∠BAP, 由“分角定理”→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB/AP), →(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由“分角定理”→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC) ·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=AD, 所以ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。证毕。
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