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如何求协方差矩阵

发表时间：2024-08-01 12:43:46 来源：网友投稿

协方差矩阵是由各个变量的方差和变量之间的协方差构成的矩阵。

它是一个对称矩阵，其对角线元素是各个变量的方差，非对角线元素是各个变量之间的协方差。假设有n个变量，它们的样本数据分别为X_1,X_2,...,X_n。则可以通过以下步骤求得协方差矩阵：

1. 计算每个变量的平均值：\\bar{X}=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^nX_i2.计算每个变量的方差：\\begin{align*} S_i^2=\\frac{1}{n-1}\\sum_{j=1}^n(X_i-\\bar{X})^2\\\\ =\\frac{1}{n-1}\\sum_{j=1}^nX_i^2-2\\bar{X}X_i+\\bar{X}^2 \\end{align*}3.计算变量之间的协方差：\\begin{align*} C_{ij}=\\frac{1}{n-1}\\sum_{k=1}^n(X_i-\\bar{X})(X_j-\\bar{X})\\\\ =\\frac{1}{n-1}\\sum_{k=1}^nX_iX_j-(\\bar{X})^2 \\end{align*}4.将方差和协方差按顺序排列成一个n\ imes n的矩阵，得到协方差矩阵：\\begin{align*} C=\\begin{bmatrix} S_1^2C_{12}C_{13}\\cdotsC_{1n}\\\\ C_{12}S_2^2C_{23}\\cdotsC_{2n}\\\\ C_{13}C_{23}S_3^2\\cdotsC_{3n}\\\\ \\vdots\\vdots\\vdots\\cdots\\vdots\\\\ C_{1n}C_{2n}C_{3n}\\cdotsS_n^2 \\end{bmatrix}

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