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线性方程组只有零解怎么求

发表时间：2024-08-01 13:02:38 来源：网友投稿

aX1+bX2+....+nXn=0 ，这种方程构成的齐次线性方程组，显然有X1=X2=......=Xn=0的解。

即齐次线性方程组必有零解。秩就是有效方程组的个数，列数就是未知量的个数。当未知量的个数等于线性方程组个数时肯定能求出唯一的解。于是齐次线性方程组的秩等于列数时，即方程个数等于未知量时，有零解，且零解为唯一解。这个问题如果从线性变换的角度来理解比较容易。齐次线性方程组（其中为阶矩阵）的几何意义在于把维空间中的向量线性映射到维空间中的向量。当是（维）时则为齐次线性方程组。显然当为（维）时方程必定成立，这是因为零向量不管被映射到什么维度的空间，仍然是零向量。如果不是零向量，此时要使得成立只有一种情况，那就是被映射到了与其垂直的子空间内。比如三维空间内的某个向量被映射到了与其垂直的某个平面内，二维空间内的某个向量被映射到了与其垂直的某条直线上。为了使得非零向量的可以被映射到与其垂直的子空间内，的秩数必须小于其行数（）。反之只能为零向量时秩数则为（秩数不可能大于）。若秩r小于列数，即小于未知量的个数n，则基础解系包含n-r个向量，于是有非零解。另一方面若有非零解，则n-r大于零，即，秩小于列数。这个推导用到基础解系的存在定理。也可以这样说明：把多余的方程去掉，剩下的方程或者说方程的系数向量线性无关。此时方程的个数等于秩，它小于等于未知量的个数。若相等系数矩阵是可逆矩阵，只有零解；若不相等，必有自由未知量，从而有非零解。

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