分块矩阵的乘法规则怎么证明

假设有两个分块矩阵$A$和$B$，它们的维度为$n\ imes n$，每个矩阵被分成$k\ imes k$个子矩阵，即$A=(A_{ij})_{k\ imes k}$和$B=(B_{ij})_{k\ imes k}$。

我们将$A$和$B$的乘积矩阵记为$C=AB$，其中$C$也被分成$k\ imes k$个子矩阵，即$C=(C_{ij})_{k\ imes k}$。我们假设每个子矩阵的维度为$n/k$，则有：$$C_{ij}=\\sum_{l=1}^{k}A_{il}B_{lj}$$我们需要证明的是，这个规则计算得到的$C$确实是矩阵$A$和$B$的乘积，即$C=AB$。设$e_i$是一个$n$维的列向量，其中在第$i$个位置上是1，其他位置上都是0，我们将$k$个这样的向量排成一行组成一个$k\ imes n$的矩阵$E$，则有：$$E=\\begin{pmatrix}e_1\\\\e_2\\\\\\vdots\\\\e_k\\end{pmatrix}$$则$C=AB$可以被写成下面的形式：$$C=[A_1,A_2,\\cdots,A_k]\\begin{pmatrix}B_1B_2\\cdotsB_k\\\\B_1B_2\\cdotsB_k\\\\\\vdots\\vdots\\ddots\\vdots\\\\B_1B_2\\cdotsB_k\\end{pmatrix}$$其中$A_i$和$B_i$分别表示$A$和$B$的第$i$列和第$i$行的子矩阵，$[A_1,A_2,\\cdots,A_k]$是将这些子矩阵按列拼接得到的矩阵。这个式子实际上是将$A$转化为一个$n\ imes kn$的矩阵，将$B$转化为一个$kn\ imes n$的矩阵，然后按照矩阵乘法的规则进行计算。我们将这个式子展开：$$C=\\begin{pmatrix}A_1B_2B_3\\cdotsB_k\\\\A_2B_2B_3\\cdotsB_k\\\\\\vdots\\vdots\\ddots\\vdots\\\\A_kB_2B_3\\cdotsB_k\\end{pmatrix}$$可以发现，$C$的每个子矩阵$C_{ij}$都是由$A_i$和$B_j$的乘积得到的，这就是我们需要证明的规则。所以根据上面的推导，我们得到了分块矩阵的乘法规则。