res复变函数如何计算
发表时间：2024-08-01 15:29:11
来源：网友投稿
z|=2的内部有两个奇点,z=±i,而且都是一阶极点.原式=2πi[Res(f(z),i)+Res(f(z),-i)]=2πi[lim(z→i)sinz/(z+i)+lim(z→-i)sinz/(z-i)]=2πi(sini/2i+sin(-i)/(-2i))=2πi*2sini/2i=2πi*[e^(i*i)-e^(-i*i)]/2i²=π/i*(1/e-e)设f(z)=(z^10)/(z-3)。
∴f(z)有一个一阶极点z1=3，但z1不在丨z丨=1内。故，f(z)在丨z丨=1的留数Res[f(z),z1]=0。∴由柯西积分定理，有原式=(2πi)Res[f(z),z1]=0。设f(z)=1/[(z^2)(z-1)(z+4)]，∵(z^2)(z-1)(z+4)=0，则z1=0、z2=1、z3=-4，其中z1是二阶极点、z2、z3是一阶极点。∴丨z丨=3内，f(z)有两个极点z1、z2。故，由柯西积分定理，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z^2)f(z)]'=-{(2z+3)/[(z-1)(z+4)]^2}丨(z=0)=-3/16、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=1/5。∴原式=πi/40。
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