一次函数周期性和对称性

函数的对称性和周期性的定义对称性分为轴对称和中心对称两种，若函数 f(x) 关于直线 x=a 对称，则 f(a+x)=f(a-x)或 f(x)=f(2a-x)；若函数 f(x) 关于点（a,b）中心对称，则 f(a+x)+f(a-x)=2b 或 f(x)+f(2a-x)=2b;若函数 f(x) 具有周期T（T>0），则 f(x)=f(x+T)。

若函数 f(x)满足f(a+x)=f(b+x)，则 函数 f(x) 具有周期 T=|a-b|。

2周期性和对称性的内在联系对于常函数来数，它即是周期函数，也有无数个对称中心和对称轴。那么很自然的我们会有下列问题：问题1：如果一个函数f(x)既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称，函数f(x)会具有什么样的性质呢？问题2：如果一个函数f(x)既关于点（a,b）中心对称，又关于点（c,d）中心对称，函数f(x)会具有什么样的性质呢？问题3：一个函数f(x)关于直线x=a对称，同时又关于点（c,d）中心对称，那么函数f(x)会具有什么样的性质呢？问题4：一个函数f(x)有周期T，又有周期S，那么函数f(x)会具有什么样的性质呢？对于上述问题的答案，我们先给出结果：结论1：f(x)具有周期T，且T=2|a-b|。结论2：若b=d，则f(x)具有周期T，且T=2|a-c|。若b不同于d，则f(x)没有周期。结论3：若b=d，则f(x)具有周期T，且T=4|a-c|。结论4：函数f(x)具有周期R，若S和T均为整数，则R=（S,T），即S和T的最大公约数。

3结论的证明和变式结论1证明：因f(2b-x)=f(x)=f(2a-x)，故周期为2|a-b|。结论2证明：因f(x)+f(2a-x)=2b，f(x)+f(2c-x)=2d，若b=d，则 f(2a-x)= f(2c-x)，结论成立。若b不同于d，则f(2a-x)-f(2c-x)=2b-2d，令2a-x=t；2a-2c=p；2b-2d=q，则 f(t)-f(t-p)=q，即周期性不存在。结论3证明：因f(x)=f(2a-x)，f(x)+f(2c-x)=2d，则 f(2a-x)+f(2c-x)=2d，令2a-x=t；2a-2c=p，则 f(t)+f(t-p)=2d，故f(t-p)+f(t-2p)=2d，即f(t)=f(t-2p)，故周期为4|a-c|。结论4证明：由辗转相除法即得。从上面的证明过程来看，我们会得到另外两个结论（证明略）：结论5：若周期为2|a-b| 的函数f(x)关于直线x=a对称，那么函数f(x)关于直线x=b对称。结论6：若周期为2|a-c| 的函数f(x)关于点（a,b）中心对称，那么函数f(x)关于点（c,b）中心对称。一般的我们通常会考虑对称中心在x轴上的情况。这样一来就和函数的奇偶性问题联系上了。例如：奇函数 f(x)关于直线x=a对称，则具有周期4|a|。

另外具有周期的奇函数还有一个很重要的性质：若定义在R上的奇函数 f(x) 周期为2T，则f(T)=0。证明：因 f(T)=f(-T)=-f(T),故f(T)=0。即奇函数在半周期的位置函数值为0，这与f(0)=0一样，都是奇函数非常重要的性质。