两个正定矩阵的乘积是实对称矩阵
发表时间：2024-08-01 21:14:28
来源：网友投稿
正定矩阵与负定矩阵的乘积为负定矩阵。
如果A和B都是实对称正定阵，且AB=BA=B^TA^T=(AB)^T这说明AB是对称阵再利用AB的特征值都是正数（因为AB相似于对称正定阵A^{1/2}BA^{1/2}）得到AB对称正定。例如：证明：因为A,B正定，所以 A^T=A,B^T=B(必要性) 因为AB正定，所以 (AB)^T=AB所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB(充分性) 因为 AB=BA所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB所以 AB 是对称矩阵由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.故 AB = P^TPQ^TQ而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似故 AB 正定
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