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反函数的导数公式推导

发表时间：2024-08-01 21:33:07 来源：网友投稿

反函数的导数公式可以通过链式法则和基本导数公式推导得出。

设函数f(x)在某个区间内有定义，如果存在一个函数g(x)，使得对于所有的x∈[a,b]，都有g(f(x))=g(x)，那么我们称函数g(x)是函数f(x)的一个原函数，记作f(x) = g(x) + h(x)，其中h(x) = f'(x) (x ∈ [a, b])是函数f(x)的导数。链式法则是求复合函数导数的一种方法，它的一般形式是：f'(g(x)) = (f'(x))g(x) + (g'(x))f(x)这里，g(x)是f(x)的原函数，h(x)是f'(x)的原函数。对于反函数我们有：f'(x) = 1/(1 + h(x))那么由链式法则，我们可以得到反函数的导数公式：f''(x) = (1/(1 + h(x))) * f'(g(x)) + (1/(1 + h(x))) * (g'(x))f'(x)= h(x) * (1/(1 + h(x))) * f'(g(x)) + (1/(1 + h(x))) * (h(x) * (1/(1 + h(x))))f''(x)= h(x) * (1/(1 + h(x))) * f'(g(x)) + h(x) * (h(x) + 1) * f''(g(x))= h(x) * f'(g(x)) + h(x) * f''(g(x))= f'(g(x)) * h(x) + f''(g(x)) * h(x)= h(x) * f'(x) + h(x) * f''(x)= h(x) * f'(x)所以反函数的导数公式为：f'(x) = 1/(1 + h(x)) * f'(g(x))

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