ex导数公式的推导及简单应用

发表时间：2024-08-01 22:14:17 来源：网友投稿

一、导数公式的推导1. 导数的定义假设$f(x)$在$x_0$处有导数，则其导数定义为：$$f'(x_0)=\\lim_{h \ o 0}\\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

2. 导数的基本公式(1) 常数函数导数公式：$(k)'=0$。

(2) 幂函数导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$。

（3）指数函数导数公式：$(a^x)'=a^x\\ln a$。

（4）对数函数导数公式：$(\\log_a x)'=\\frac{1}{x\\ln a}$。

（5）三角函数导数公式：$$(\\sin x)'=\\cos x, \\ \\ \\ \\ (\\cos x)'=-\\sin x, \\ \\ \\ \\ (\ an x)'=\\sec^2 x$$

3. 导数的运算法则(1) 加法法则：$(f+g)'=f'+g'$。

（2）减法法则：$(f-g)'=f'-g'$。

（3）乘法法则：$(fg)'=f'g+fg'$。

（4）除法法则：$(\\frac{f}{g})'=\\frac{f'g-fg'}{g^2}$，其中$g(x) \eq 0$。

（5）复合函数法则：$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$。

二、导数公式的简单应用1. 求函数$f(x)$在$x=a$处的导数。根据导数的定义，$\\displaystyle f'(a)=\\lim_{h \ o 0}\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$。

2. 求函数$f(x)$的极值点及最大值、最小值。首先求出$f(x)$的导数$f'(x)$，然后令$f'(x)=0$，解出$x$的值，即为$f(x)$的极值点。其次将极值点代入$f(x)$，求出对应的函数值，即为$f(x)$的最大值或最小值。

3. 求函数$f(x)$的单调性及拐点。求出$f(x)$的导数$f'(x)$，然后求出$f'(x)$的零点（即$f''(x)=0$的点），这些点就是$f(x)$的拐点。如果$f'(x)>0$，则$f(x)$在该点单调递增；如果$f'(x)<0$，则$f(x)$在该点单调递减。

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