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反常积分常用结论

发表时间：2024-08-01 22:25:52 来源：网友投稿

反常积分是指积分限中含有使积分函数无意义的点的积分，也称为广义积分或瑕积分。

以下是反常积分常用的结论：

1. 比较判别法：设I=\\int_a^\\infty f(x)dx和I=\\int_a^\\infty g(x)dx都是瑕积分，如果存在常数K，使得对任意x>a都有0\\leq f(x)\\leq Kg(x)，则有：\\int_a^\\infty f(x)dx收敛\\Leftrightarrow \\int_a^\\infty g(x)dx收敛。

2.柯西判别法：设I=\\int_a^\\infty f(x)dx是瑕积分，如果存在常数\\lambda>0，使得对任意x>a都有\\vert f(x)\\vert\\leq \\lambda\\vert x-a\\vert^\\rho，其中\\rho>1，则有：\\int_a^\\infty f(x)dx收敛。

3.狄利克雷判别法：设I=\\int_0^\\infty f(x)dx是瑕积分，如果f(x)在x=0的某邻域内单调且有界，则有：\\int_0^\\infty f(x)dx收敛。

4.阿贝尔判别法：设I=\\int_a^\\infty f(x)dx是瑕积分，如果\\lim_{x\ o\\infty}x^\\rho f(x)存在且有限（其中\\rho>0），则有：\\int_a^\\infty f(x)dx收敛。这些结论在反常积分的计算和敛散性的判断中经常使用。需要注意的是，对于具体的反常积分问题，可能需要根据函数的特点选择合适的判别法或其他方法进行分析。

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