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无穷递增等比数列的公式

发表时间：2024-08-02 14:02:02 来源：网友投稿

无穷等比数列求和公式是Sn=(a1-an×q)/(1-q)。

1、Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)，q=1时Sn=na1，定义可以用公式表达为：a(n+1)/an=q(式中n为正整数，q为常数）。特别注意的是，q是一个与项数n无关的常数，三个数 a、G、b依次组成等比数列，则G叫做的等比中项，且G2=a+b。

2、若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq，若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2，也就是当n=1时，左边=a1，右边=a1·q0=a1，等式成立，假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，等式成立，即ak=a1qk-1。

3、数列求和的方式倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。倒序相加法如果一个数列{an}满足与首末两项等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和，可用倒序相加法。假设无穷递增等比数列的首项为a，公比为r，那么数列的前n项和可以表示为Sn。我们的目标是找到一个公式，通过已知的首项、公比和项数，来计算数列的和。为了推导出这个公式，我们先来看一下数列的前n项和与第n+1项的关系。根据数列的定义，第n+1项是第n项乘以公比r，所以我们可以将数列的前n+1项和Sn+1表示为：Sn+1 = a + ar + ar^2 + ... + ar^n + ar^(n+1)接下来，我们将Sn+1中的每一项都乘以公比r，得到：rSn+1 = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n + ar^(n+1) + ar^(n+2)然后我们将这两个式子相减，得到：Sn+1 - rSn+1 = a - ar^(n+2)化简上式，可得：Sn+1(1 - r) = a(1 - r^(n+2))因为1 - r不等于0（根据等比数列的定义，公比r不等于1），所以我们可以将上式两边同时除以(1 - r)，得到：Sn+1 = a(1 - r^(n+2))/(1 - r)

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