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平面的一般方程

发表时间：2024-08-02 15:03:29 来源：网友投稿

方程通常写作:Ax+By+Cz+D=0,其中A、B、C是平面法向量的三个分量,D是平面到原点的有向距离。

可以看出,该方程中的三个系数A、B、C是平面的法向量,所以该方程也被称为平面的法向量式方程。如果一个平面已知过其中的三个点,则可以通过这三个点的坐标计算平面的法向量,然后代入上述方程中求得平面的一般方程。除了一般方程,还有其他表示平面的方程形式,包括点法式方程、两点式方程、截距式方程等。具体如下:1.点法式方程:设平面上一点为P,法向量为n,则平面上任意一点Q到点P的向量与法向量n的点积为0,即(Q-P)·n=0。展开得到Px+Qy+Rz+D=0,其中P、Q、R是平面法向量的三个分量,D是平面到点P的有向距离。

2.两点式方程:设平面上已知两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2),则平面上任意一点P(x,y,z)到点A和点B的向量u=AP和向量v=BP在平面内线性相关,即u×v=0,展开得到(y2-y1)z+(x1-x2)z+(x2y1-x1y2)=0。

3.截距式方程:设平面与x、y、z三个坐标轴的交点分别为A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c),则该平面上的任意一点P(x,y,z)到A、B、C三个点的距离分别为x-a、y-b、z-c,所以平面方程可以表示为(x-a)/l+(y-b)/m+(z-c)=1,其中l、m、n分别为平面法向量的三个分量。

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