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三倍角公式推导及证明

发表时间：2024-08-02 15:44:40 来源：网友投稿

三倍角公式是指：

$$\\sin 3\ heta = 3\\sin \ heta - 4\\sin^3\ heta$$ $$\\cos 3\ heta = 4\\cos^3\ heta - 3\\cos\ heta$$

首先我们使用倍角公式将 $2\ heta$ 表示为 $\ heta$ 的函数：

$$\\sin 2\ heta = 2\\sin\ heta\\cos\ heta$$ $$\\cos 2\ heta = \\cos^2\ heta - \\sin^2\ heta = 2\\cos^2\ heta - 1$$

$$\\begin{aligned} \\sin 3\ heta &= \\sin(2\ heta+\ heta) \\ &= \\sin 2\ heta \\cos\ heta + \\cos 2\ heta \\sin\ heta \\ &= (2\\sin\ heta\\cos\ heta)\\cos\ heta + (2\\cos^2\ heta - 1)\\sin\ heta \\ &= 2\\sin\ heta\\cos^2\ heta + 2\\cos^2\ heta\\sin\ heta - \\sin\ heta \\ &= 3\\sin\ heta - 4\\sin^3\ heta \\end{aligned}$$

$$\\begin{aligned} \\cos 3\ heta &= \\cos(2\ heta+\ heta) \\ &= \\cos 2\ heta \\cos\ heta - \\sin 2\ heta \\sin\ heta \\ &= (2\\cos^2\ heta-1)\\cos\ heta - (2\\sin\ heta\\cos\ heta)\\sin\ heta \\ &= 4\\cos^3\ heta - 3\\cos\ heta \\end{aligned}$$

这样就推导出了三倍角公式。

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