什么是偶函数和奇函数

一、奇函数、偶函数的概念1、奇函数：假如一个函数f(x)的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。

2、偶函数：假如一个函数g(x)的定义域关于原点对称，并且对于定义域中的任意x都有g(-x)=g(x),则称函数g(x)为偶函数。【注意】定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

二、奇函数、偶函数的图像特点1、奇函数图象关于原点对称。奇函数的图象，是个以原点为对称中心的中心对称图象。

2、偶函数图象关于y轴对称。偶函数的图象，是个以y轴为对称轴的轴对称图象。

3、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

4、如果奇函数f(x)的定义域中有“0”，则一定有f(0)=0。所以如果一个奇函数的定义域中有“0”，则这个奇函数的函数图象一定过原点。

5、如果偶函数g(x)的定义域中有“0”，则g(0)不一定为0。所以如果一个偶函数的定义域中有“0”，则这个偶函数的函数图象不一定过原点。

6、偶函数在对称区间上的值域相同，奇函数在对称区间上的值域关于原点对称。

三、奇函数、偶函数的判定假设函数f(x)、g(x)的定义域都关于原点对称。则1、f(x)是奇函数的几个充要条件为：

（1）对定义域中的任意x都有：f(-x)=-f(x);（2）对定义域中的任意x都有：f(x)+f(-x)=0;（3）对定义域中的任意x都有：f(-x)/f(x)=-1;【注】分母不为0.（4）对定义域中的任意x都有：f(x)/f(-x)=-1;【注】分母不为0.（5）f(x)的函数图象关于原点对称。

2、g(x)是偶函数的几个充要条件为：

（1）对定义域中的任意x都有：g(-x)=g(x);（2）对定义域中的任意x都有：g(x)-g(-x)=0;（3）对定义域中的任意x都有：g(-x)/g(x)=1;【注】分母不为0.（4）对定义域中的任意x都有：g(x)/g(-x)=1;【注】分母不为0.（5）g(x)的函数图象关于y轴对称。

四、函数按奇偶性的分类所有函数照奇偶性分类可以分成四类，分别是：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。常见的“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数”举例如下。

1、常见的奇函数（1）次数为奇数的幂函数：y=x^(2n-1)，n为整数。例：y=x，y=x^(-1)=1/x，（2）正弦函数和正切函数：y=sinx，y=tanx。

（3）设函数f(x)的定义域关于原点对称，则g(x)=[f(x)-f(-x)]/2为奇函数。【注】因为g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)。

2、常见的偶函数（1）常函数：y=c（c为常数）。

（2）次数为偶数的幂函数：y=x^(2n)，n为整数。例：y=x^2，y=x^(-2)。

（3）余弦函数及某些三角函数的变形：y=cosx，y=|sinx|，y=|cosx|，y=sin|x|。

（4）特殊的分段函数：y=|x|。

（5）设函数f(x)的定义域关于原点对称，则g(x)=[f(x)+f(-x)]/2为偶函数。【注】因为g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=[f(x)+f(-x)]/2=g(x)。

3、常见的既是奇函数又是偶函数的函数y=0（定义域关于原点对称）。例：

1、y=0，x∈R；2y=0，x∈(-1,1)等。【注】高中数学里，“y=0”是唯一的一个“既是奇函数又是偶函数的”函数解析式形式。

4、常见的非奇非偶函数（1）奇函数与偶函数的和。例：y=x+1，y=x+x^2;（2）指数函数、对数函数。例：y=a^x（a>0且a≠1），y=lnx，y=lgx。

（3）某些幂函数。例：y=√x（注：y=“x的算术平方根”）。

五、复合函数的奇偶性设复合函数u(x)=f(g(x))，定义域非空且关于原点对称，则有：

（1）f(x)、g(x)都为奇函数时，u(x)=f(g(x))为奇函数。【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-u(x)。

（2）f(x)、g(x)都为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（3）f(x)为奇函数，g(x)为偶函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。【注】u(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=u(x)。

（4）f(x)为偶函数，g(x)为奇函数时，u(x)=f(g(x))为偶函数。【注】u(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=f(g(x))=u(x)