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超几何分布的方差公式推导

发表时间：2024-08-02 16:07:16 来源：网友投稿

超几何分布是一种离散概率分布，它用于描述从有限的总体中随机抽取一定数量的样本，其中包含了固定数量的成功样本和失败样本的概率分布。

超几何分布的方差公式如下：Var(X) = N * K * (N - K) * (N - n) / (N^2 * (N - 1))其中，X为超几何分布的随机变量，N为总体大小，K为总体中成功样本的数量，n为抽取的样本数量。超几何分布的方差公式可以通过以下步骤进行推导：首先超几何分布的期望为 E(X) = n * K / N。然后根据方差的定义，有 Var(X) = E(X^2) - E(X)^2。接下来需要求出 E(X^2)。由于超几何分布的随机变量只能取整数值，所以 E(X^2) 可以表示为：E(X^2) = Σx^2 * P(X = x)其中，Σ表示求和，x表示超几何分布的所有可能取值，P(X = x)表示X取值为x的概率。考虑到超几何分布的取值与样本中成功样本的数量有关，所以可以将上式写为：E(X^2) = Σ(k * (n - k) * C(k, m) * C(N - k, n - m)) / C(N, n)其中，k表示总体中成功样本的数量，m表示随机抽取的n个样本中成功样本的数量，C(k, m)表示从k个成功样本中选出m个成功样本的组合数，C(N - k, n - m)表示从N - k个失败样本中选出n - m个失败样本的组合数。最后将 E(X^2) 和 E(X) 的值带入 Var(X) 的公式中，即可得到超几何分布的方差公式

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