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幂级数如何求和函数

发表时间：2024-08-02 17:02:46 来源：网友投稿

求幂级数的和函数的方法，通常是：

1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。

需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。所以可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1；3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。

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