抛物线的参数方程的推导公式

抛物线的参数方程可以通过以下推导得到：假设抛物线的顶点为点(Vx, Vy)，焦点为点(Fx, Fy)，则焦距为 p = |Fx - Vx| = |Fy - Vy|。

设抛物线上任意一点为点(Px, Py)，则点(Px, Py)到焦点的距离为 d = √((Px - Fx)^2 + (Py - Fy)^2)。根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于其到顶点的距离，即 d = √((Px - Vx)^2 + (Py - Vy)^2)。将上述两个等式相等，得到：√((Px - Fx)^2 + (Py - Fy)^2) = √((Px - Vx)^2 + (Py - Vy)^2)两边平方，得到：(Px - Fx)^2 + (Py - Fy)^2 = (Px - Vx)^2 + (Py - Vy)^2展开并整理，得到：Px^2 - 2PxFx + Fx^2 + Py^2 - 2PyFy + Fy^2 = Px^2 - 2PxVx + Vx^2 + Py^2 - 2PyVy + Vy^2消去相同的项，得到：- 2PxFx + Fx^2 - 2PyFy + Fy^2 = - 2PxVx + Vx^2 - 2PyVy + Vy^2移项并整理，得到：2Px(Vx - Fx) + 2Py(Vy - Fy) = Vx^2 - Fx^2 + Vy^2 - Fy^2再次整理，得到：Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = (Vx - Fx)(Vx + Fx) + (Vy - Fy)(Vy + Fy)即：Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = Vx^2 - Fx^2 + Vy^2 - Fy^2根据焦距的定义 p = |Fx - Vx|，化简上式，得到：Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = Vx^2 - Fx^2 + Vy^2 - Fy^2Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = Vx^2 - 2VxFx + Fx^2 + Vy^2 - 2VyFy + Fy^2Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = (Vx - Fx)^2 + (Vy - Fy)^2由于 (Vx - Fx)^2 + (Vy - Fy)^2 = p^2，所以最终得到抛物线的参数方程为：Px(Vx - Fx) + Py(Vy - Fy) = p^2