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反正切函数和差角公式推导

发表时间：2024-08-02 18:12:37 来源：网友投稿

这个“公式”并不总是对的，因为 arctanx 有一个主值区间的问题。

虽然有-π/2＜arctana＜π/2，-π/2＜arctanb＜π/2，但是无法保证有-π/2＜arctana-arctanb＜π/2。下面的反例就充分说明了此式是错误的。a=-√3，b=√3，(a-b)/(1+ab)=√3，arctana=-π/3，arctanb=π/3，arctan[(a-b)/(1+ab)]=π/3；而 arctan[(a-b)/(1+ab)]和arctana－arctanb 显然是不相等的。这个错误产生的根源是所使用的错误“依据”：arctan[tan(A-B)]=A-B。本质问题是忽略了 arctanx 有一个主值区间的问题。尽管有-π/2＜A＜π/2，-π/2＜B＜π/2，但不足以保证-π/2＜A-B＜π/2。这个等式 arctan[(a-b)/(1+ab)]＝arctana－arctanb 成立的充要条件是：-π/2＜arctana-arctanb＜π/2。最简单的充分条件是：a,b同号。他可以确保-π/2＜arctana-arctanb＜π/2。但a,b同号，并不是-π/2＜arctana-arctanb＜π/2成立的必要条件。[收起]

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