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布劳威尔不动点定理证明

发表时间：2024-08-02 19:03:49 来源：网友投稿

凸集的条件应该不是本质的, 重要的是与闭球同胚.实际上, 若拓扑空间X同胚于n维闭单位球, 映射f: X → X连续, 则f在X中存在不动点.证明: 设φ: X → D是X到n维闭单位球的同胚映射, ψ: D → X为其逆映射 (也是同胚映射).由f: X → X连续, 可知g = φ·f·ψ: D → D连续.根据Brouwer不动点定理, g在D中存在不动点, 不妨设y ∈ D满足g(y) = y, 即φ·f·ψ(y) = y.由ψ为φ的逆映射, 有ψ(y) = ψ·φ·f·ψ(y) = f(ψ(y)).即x = ψ(y) ∈ X为f的不动点.

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