斐波那契数列五大性质推导
发表时间：2024-08-02 19:20:43
来源：网友投稿
关于这个问题，斐波那契数列是指从0和1开始，后面每一项都是前面两项之和的数列，其前几项为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987……，数列的通项公式为：
$$F_n=\\begin{cases}0&n=0\\\\1&n=1\\\\F_{n-1}+F_{n-2}&n\\geq2\\end{cases}$$
1. 黄金分割性质
首先我们可以证明斐波那契数列具有黄金分割性质，即相邻两项的比值在无限逼近黄金分割比例$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}$。证明如下：
设$\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{F_{n-1}}{F_n}=x$，则有：
$$x=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{F_{n-1}}{F_n}=\\lim_{n\ o\\infty}\\frac{F_{n-2}+F_{n-3}}{F_{n-1}+F_{n-2}}=\\frac{1}{1+x}$$
解得$x=\\frac{-1+\\sqrt{5}}{2}$，而$\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}$是正根，所以有：
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