循环小数化分数方法的推导

关于这个问题，循环小数化分数的方法可以通过以下推导得到：假设有一个循环小数 $a = 0.\\overline{d_1d_2\\cdots d_n}$，我们要将其化为分数形式。

首先我们可以将其表示为一个无限不循环小数和一个有限小数的和：$$a = 0.\\overline{d_1d_2\\cdots d_n} = \\frac{d_1d_2\\cdots d_n}{10^n} + \\frac{0.\\overline{d_1d_2\\cdots d_n}}{10^n}$$其中，第一项是有限小数，第二项是无限不循环小数。接下来我们可以用一个变量 $x$ 表示出第二项：$$x = 0.\\overline{d_1d_2\\cdots d_n}$$将 $x$ 乘以 10，得到：$$10x = d_1.\\overline{d_2d_3\\cdots d_n}$$再将其减去 $x$，得到：$$9x = d_1 + 0.\\overline{d_2d_3\\cdots d_n}$$即：$$9x = d_1 + \\frac{1}{10}(d_2d_3\\cdots d_n + x)$$化简得：$$x = \\frac{d_1}{9} + \\frac{1}{9}\\left(\\frac{d_2d_3\\cdots d_n}{10^{n-1}} + x\\right)$$将 $x$ 化为分数形式：$$x = \\frac{d_1}{9} + \\frac{1}{9}\\cdot\\frac{d_2d_3\\cdots d_n}{10^{n-1}-1}$$将 $a$ 化为分数形式：$$a = \\frac{d_1d_2\\cdots d_n}{10^n} + \\frac{d_1}{9} + \\frac{1}{9}\\cdot\\frac{d_2d_3\\cdots d_n}{10^{n-1}-1}$$化简得：$$a = \\frac{10^n\\cdot d_1d_2\\cdots d_n + d_1\\cdot(10^{n-1}-1) + \\frac{d_2d_3\\cdots d_n}{9}}{10^n\\cdot9}$$所以循环小数化分数的方法就是将循环小数表示成一个有限小数和一个无限不循环小数的和，然后通过变量 $x$ 表示出无限不循环小数，将其化为分数形式，最后将有限小数和无限不循环小数的分数形式相加即可。