对勾函数问题怎么做
发表时间：2024-08-10 01:38:33
来源：网友投稿
我计算值域是[1，2]
(x²+4x+7)/(x²+2x+3)先尽量化简函数
=(x²+2x+3+2x+4)/(x²+2x+3)
=1+(2x+4)/(x²+2x+3)
=1+2(x+2)/(x²+2x+3)这里分子只有一个x的因式x+2了，那么可以换元或者直接给分母凑关于x+2的表达式
令t=x+2，则x=t-2，由于x的范围1到正无穷，则t的范围3到正无穷
原式=1+2t/((t-2)²+2(t-2)+3)
=1+2t/(t²-4t+4+2t-4+3)
=1+2t/(t²-2t+3)
=1+2/(t-2+3/t)
令分母t-2+3/t=f
原式=1+2/f
此时值域就根据右侧分母确定了，对分母f=t-2+3/t：
由对勾函数性质可以知道，当且仅当t=3/t时，f取得极小值，而极小值点右侧，f单调增，极小值点左侧，函数单调减
极小值点t=√3，不在定义域内，定义域位于该点右侧，所以f在定义域内单调递增
则t=3时，f取得最小值2，t=无穷大时，f取得最大值，无穷大
回到函数表达式
分母f越大，函数值越小，而f越小，函数值越大
所以值域y在f=无穷大时最小，为1，在f=2时最大，为2
PS：题目中定义域对∞那边应该是开区间吧～这个估计是印刷错误
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