初三的数学题

七、（本题满分7分）

23．已知：关于x的方程有两个实数根，关于y的方程有两个实数根，且。当时求m的取值范围。

八、（本题满分8分）

24．已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。

（1）求证：CD是半圆O的切线（图1）；

（2）作EF⊥AB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；

（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（图3），求∠EOC的正切值。

图1

图2

图3

23．解：∵关于x的方程有两个实数根x1和x2

解得①

∵关于y的方程有两个实数根

解得0≤n≤4

由根与系数的关系得

整理得

由二次函数的图象可得

当②

由①、②得m的取值范围是

八、

24．（1）证明：如图1，连结OD，则OD为半圆O的半径

图1

∵OC为半圆M的直径

∴∠CDO=90°

∴CD是半圆O的切线。

（2）猜想：。

证法三：如图，连结OD、ME，OD、ME相交于点H

∵CE平分∠DCB

∴∴ME⊥OD，OH

∵EF⊥CO∴∠MFE=∠MHO=90°

∵∠EMF=∠OMH，ME=MO

∴△MEF≌△MOH

∴EF=OH∴

（3）解：如图3，延长OE交CD于点K

图3

设OF=x，EF=y，则OA=2y

∵NE//CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A

∴四边形AFEN是矩形

∴

同（2）证法一，得E是OK的中点

∴N是CK的中点

∴Rt△CEF∽Rt△EOF

∴

∴

解得

∴tan∠EOC=3

25．（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点

∴关于x的方程有两个不相等的实数根

解得

∵点A在点B的左边，且m>0，∴A（－m，0），B（2m，0）

解法二：如图2，过点O作OG//AC交BE于点G

图2

∴△CED∽△OGD∴

∵DC=DO∴CE=OG

∵OG//AC∴△BOG∽△BAE∴

∵OB=2m，AB=3m∴

（3）解法一：如图3

图3

∵点C在抛物线上（与点A不重合），C、A两点到y轴的距离相等

∴C（m，2m2）

过点E作DC边上的高EP，过点A作OC边上的高AQ

∴EP//AQ

∴△CEP∽△CAQ

∴

∵

∴

解得m=2

∴抛物线的解析式为

点C的坐标为（2，8），点B的坐标为（4，0）

分别过点D、C作x轴的垂线，交x轴于点M、N

∴DM//CN

∵D是OC的中点

∴

∴D点的坐标为（1，4）

设直线BE的解析式为

∴直线BE的解析式为

解法二：如图4，连结OE

图4

∵D是OC的中点

∴

以下同（3）解法一

23．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

24．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。

25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

23．解：（1）FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。

（2）答：（1）中的结论FE＝FD仍然成立。

证法一：如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG

因为∠1＝∠2，AF为公共边

可证△AEF≌△AGF

所以∠AFE＝∠AFG，FE＝FG

由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

可得∠2＋∠3＝60°

所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°

所以∠CFG＝60°

由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD

所以FG＝FD

所以FE＝FD

24．解：（1）根据题意，c＝3

所以

解得

所以抛物线解析式为

（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）

设直线CD的解析式为

当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为

当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为

（3）如图，由题意，可得

点M关于x轴的对称点为

点A关于抛物线对称轴的对称点为A'（6，3）

连结A'M'

根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求

点P运动的最短总路径的长

所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x＝3的交点为所求F点。

可求得直线A'M'的解析式为

可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）

由勾股定理可求出

所以点P运动的最短总路径（ME＋EF＋FA）的长为。

25．解：（1）略。

（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长。

已知：四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC＝BD

且∠AOD＝60°

求证：BC＋AD≥AC

证明：过点D作DF‖AC，在DF上截取DE，使DE＝AC

连结CE、BE

故∠EDO＝60°，四边形ACED是平行四边形

所以△BDE是等边三角形，CE＝AD

所以DE＝BE＝AC

①当BC与CE不在同一条直线上时（如下图）

在△BCE中，有BC＋CE＞BE

所以BC＋AD＞AC

②当BC与CE在同一条直线上时（如下图）

则BC＋CE＝BE

所以BC＋AD＝AC

综合①、②，得BC＋AD≥AC。

即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长。

23.如图，已知

（1）请你在边上分别取两点、（的中点除

外），连结、，写出使此图中只存在两对面

积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的

三角形；

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，

证明.

23.如图，已知

（1）请你在边上分别取两点、（的中点除

外），连结、，写出使此图中只存在两对面

积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的

三角形；

（2）请你根据使（1）成立的相应条件，

证明.

解：

（1）相应的条件是：BD=CE≠DE；

两对面积相等的三角形分别是：△ABD和△ACE，△ABE和△ACD.

证法2：如图，分别过点A、E作CB、CA的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BF.则四边形FECA是平行四边形，所以FE=AC，AF=CE.

因为BD=CE

所以BD=AF

所以四边形FBDA是平行四边形

所以FB=AD

在△AGE中，AG+EG＞AE

在△BFG中，BG+FG＞FB

可推得AG+EG+BG+FG＞AE+FB

所以AB+AC＞AD+AE

24.在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；

（3）在（2）的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标.

解：（1）由题意可得

故抛物线的解析式为：.

（2）由可知抛物线的顶点坐标为B（），故C（），且直线过原点.设直线的解析式为，则有.故直线的解析式为.

（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个.

由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形，四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等.由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为，

同时不难计算出点A到OB的距离为，故点A也算其中一个.同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB、OC、BC的距离相等.

此四个点的坐标分别为：M（）、A（0，2）、（0，-2）、（）.

25.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在中，如果是不等于60的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

解：

（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可.

（2）与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）

四边形DBCE是等对边四边形.

（3）此时存在等对边四边形DBCE.

证明1：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD的延长线于F点.

∵∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边

∴△BGC≌△CFB

∴BF=CG

∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A

∠GEC=∠ABE+∠A

∴△BDF≌△CEG

∴BD=CE

故四边形DBCE是等对边四边形.

证明2：如图，在BE上取一点F，使得BF=CD，连接CF.

易证△BCD≌△CBF，故BD=CF，∠FCB=∠DBC.

∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A

∠CEF=∠ABE+∠A

∴CF=CE

∴BF=CE

故四边形DBCE是等对边四边形.