全错位排列的递推证法

发表时间：2024-08-14 15:26:32 来源：网友投稿

全错位排列是指一个排列中所有元素的位置都与其原位置不同。

递推证法是一种证明方法，它通过证明某个命题在较小规模上成立，然后利用这个小规模的成立来推导出大规模的成立。对于全错位排列的递推证法，可以按照以下思路进行证明：

1. 基础情况：当n=2时，有两个元素，只有一种全错位排列，即两个元素互换位置。

2. 假设对于n=k(k>

2)的情况，全错位排列的个数为f(k)，现在要证明对于n=k+1的情况，全错位排列的个数为f(k+1)。

3. 假设全错位排列中第k+1个元素在原排列中的位置为i，根据错位排列的定义可知，第i个元素在原排列中的位置不能是k+1。所以第i个元素只有k-1个取值的可能，即1到k且不包括k+1。

4. 接下来将第k+1个元素与第i个元素进行交换，得到一个全错位排列。交换后第k+1个元素的位置变为i，第i个元素的位置变为k+1。同时除了第k+1个元素和第i个元素外，其他元素的位置与原排列相同。

5. 根据步骤4的操作，将问题规模从n=k+1缩小为n=k。根据假设在n=k的情况下，全错位排列的个数为f(k)。所以在n=k+1的情况下，全错位排列的个数为f(k+1)=(k-1)*f(k)。

6. 根据步骤5，在已知f(2)=1的情况下，可以递推得到f(k+1)=(k-1)*(k-2)*...*2*1=factorial(k-1)，其中factorial(k-1)表示(k-1)的阶乘。

7. 综上所述对于任意的n，全错位排列的个数为f(n)=factorial(n-1)。

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