等额本息计算公式推导过程

等额本息计算公式推导，等额本息还款法即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。

等额本息计算公式推导等额本息是买房按揭贷款时最常用的一种还款方式，其意义从字面就可以理解，就是每期还款的本金加利息之和相等。我们在计算每期应还本金和利息时，在Excel中可以方便的使用函数PMT(rate,nper,pv)计算每期本金利息和；PPMT(rate,per,nper,pv)计算每期本金（rate为还款周期利率，per为还款期次，nper为还款总期数，pv为贷款总额）。函数很好用但总觉得不够直观，我们看不到从本金、利率、期数算出结果的过程。其实通过在高等数学中的等比序列知识，不难把计算公式推导出来。下面为推导过程：等额本息还款公式推导设贷款还款方式为等额本息（按月还）。P为整笔贷款本金，M为贷款总月数（期供总数），R为月利率，V为每期应还本金利息和；Pn为第n期应还本金，Vn为第n期应还本息和。有：第1期应还本息和 = P1+(P1+P2+...+PM)*R第2期应还本息和 = P2+(P2+P3+...+PM)*R第3期应还本息和 = P3+(P3+P4+...+PM)*R...第M期应还本息和 = PM+PM*R第一步推论：Pn=P1*(1+R)^(n-1)按照等额本息的定义，每期应还本金和利息总和相等。则有：V1=V2=V3=V由V1=V2，P1+(P1+P2+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R=》P1+P1*R+(P2+P3+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R=》P1+P1*R = P2=》 P2 = P1*(1+R)同理，由V2=V3，=》 P3 = P2*(1+R) = P1*(1+R)^2由V(n-1)=Vn，=》 Pn = P1*(1+R)^(n-1)第二步推论：P1=P*R/((1+R)^M-1)再由P=P1+P2+...+PM推导，得：P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)注意上述公式是一个等比序列求和问题。先复习下等比序列基础知识：有数列 a1,a2,a3,...,an,...如果a2/a1=a3/a2=...=an/a(n-1)=...=q，q≠0，则这个数列为等比数列。等比数列求和公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)结合等比数列求和公式，此处q=1+R, n=M,得P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)= P1*(1-(1+R)^M)/(1-(1+R))= P1*((1+R)^M-1)/R求P1，得：P1=P*R/((1+R)^M-1)第三步：结论由第二步P1公式，代入Pn=P1*(1+R)^(n-1),得：Pn=P*R*(1+R)^(n-1)/((1+R)^M-1)这就是每期应还的本金。每期应还的本息和为：V=V1=P1+P*R= P*R/((1+R)^M-1)+P*R= P*R*(1/((1+R)^M-1) + 1)= P*R*(1+R)^M/((1+R)^M-1)至此，得到结论。