等差数列通项公式具有怎样特殊的形式

等差数列的通项公式是指根据数列中的位置n，直接求出该位置上的数值的公式。

对于一个等差数列来说通项公式的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n个数值，a1表示数列中的首项，d表示数列的公差。(一) 定义：数列{an}若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称{an}是等差数列，这个常数称为{an}的公差，通常用d表示(二) 等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，此通项公式存在以下几种变形：

(1)an=am+(n-m)d，其中m≠n：已知数列中的某项am和公差即可求出通项公式(2)d=(an-am)/(n-m)：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差(3)n=(an-a1)/(d)+1：已知首项，末项，公差即可计算出项数(三) 等差中项：如果a,b,c成等差数列，则b称为a,c的等差中项(1)等差中项的性质：若b为a,c的等差中项，则有c-b=b-a即2b=a+c(2)如果{an}为等差数列，则∀n≥2,n∈N^(∗)，an均为an-1,an+1的等差中项(3)如果{an}为等差数列，则am+an=ap+aq⇔m+n=p+q注：

①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如m+n=p+q+s，则am+an=ap+aq+as不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：a4+a7+a8+a9=20，可得a4+a7+a8+a9=a7+a7+a7+a7=4a7=20，即可得到a7=5，这种做法可称为“多项合一”(四) 等差数列通项公式与函数的关系：an=a1+(n-1)d=d⋅n+a1-d，所以该通项公式可看作an关于n的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：d>0，{an}递增；d<0，{an}递减。(五) 等差数列前n项和公式：Sn=(a1+an)/(2)⋅n，此公式可有以下变形：

(1)由m+n=p+q⇔am+an=ap+aq可得：Sn=(ap+aq)/(2)⋅n(p+q=n+1)，作用：在求等差数列前n项和时，不一定必须已知a1,an，只需已知序数和为n+1的两项即可(2)由通项公式an=a1+(n-1)d可得：Sn=(a1+a1+(n-1)d)/(2)⋅n=a1n+(n(n-1))/(2)d作用：

①这个公式也是计算等差数列前n项和的主流公式②Sn=a1n+(n(n-1))/(2)d=(d)/(2)n^(2)+(a1-(1)/(2)d)n，即Sn是关于项数n的二次函数(n∈N^(∗))，且不含常数项，可记为Sn=An^(2)+Bn的形式。从而可将Sn的变化规律图像化。

（3）当n=2k-1(k∈N^(∗))时，S2k-1=(a1+a2k-1)/(2)⋅(2k-1)因为a1+a2k-1=2ak∴S2k-1=(2k-1)ak而ak是S2k-1的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当n=2k(k∈N^(∗))时S2k=(a1+a2k)/(2)⋅2k=k(ak+ak+1)，即偶数项和与中间两项和的联系(六) 等差数列前n项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前n项和公式入手分析(1)从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：{an}:1；3；5；7,9,11,⋯{bn}:7；5；3,1,-1,-3,⋯{cn}:-1,-3,-5,-7,-9,⋯{dn}:-9,-7,-5,-3,-1,1⋯通过观察可得：{an}为递增数列，且a1>0，所以所有的项均为正数，前n项和只有最小值，即a1，同理{cn}中的项均为负数，所以前n项和只有最大值，即c1。而{bn}虽然是递减数列，但因为b1>0，所以直到b5=-1，从而前4项和最大，同理，{dn}的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前n项和的最值会出现在项的符号分界处。

（2）从Sn=An^(2)+Bn的角度：通过配方可得Sn=A(n+(B)/(2A))^(2)-(B^(2))/(4A)，要注意n∈N^(∗)，则可通过图像判断出Sn的最值(七) 由等差数列生成的新等差数列(1)在等差数列{an}中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在{an}:1；3；5；7,9,11,13,15,17,19；21,⋯，以3为间隔抽出的项1,9,17；25,⋯仍为等差数列。如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距(2)已知等差数列{an}:a1,a2,⋯,ak,ak+1,ak+2,⋯,a2k,a2k+1,a2k+2,⋯,a3k,⋯，设Sk=a1+a2+⋯+ak，S2k-Sk=ak+1+ak+2+⋯+a2k,S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+⋯+a3k,⋯，则相邻k项和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,⋯成等差数列(3)已知{an},{bn}为等差数列，则有：

①{an+C}为等差数列，其中C为常数②{kan}为等差数列，其中k为常数③{an+bn}为等差数列①②③可归纳为{λan+μbn+m}也为等差数列(八) 等差数列的判定：设数列an，其前n项和为Sn(1)定义(递推公式)：an+1-an=d(2)通项公式：an=kn+m(关于n的一次函数或常值函数)(3)前n项和公式：Sn=An^(2)+Bn；注：若Sn=An^(2)+Bn+C，则{an}从第二项开始呈现等差关系(4)对于∀n∈N^(∗)；2an+1=an+an+2，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项