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为什么x趋于零sinx也趋于一

发表时间：2024-08-17 18:06:03 来源：网友投稿

因为正弦函数sin[x]和x在x趋于0的极限下是同阶无穷小，所以它们商的在x趋于0的极限下就是1。

要证明这一点微积分的教科书上有许多方法，但是往往不那么显而易见。江湖传闻物理学家牛顿在遇到这类数学问题的时候，有一个屡试不爽的“绝招”，就是遇到一个函数就将它写成多项式求和——即泰勒展开。让我们依样画葫芦，利用泰勒展开的公式，我们在零点将正弦函数sin[x]写成无穷多项式求和(也称为麦克劳林展开)，也就是x-(x^3)/6+(x^5)/120+…。现在我们想象一下，当x从一个有限的数向零趋进的时候，x的高次幂相比于x的一次幂会迅速地减小。所以在很接近零的时候，实际上sin[x]所展开的多项式中实际上是线性项x起主导。所以它趋近于零的快慢程度就跟x是一样的了，所以商的极限就是1，而不是无穷大。另一个可以快速求得sin[x]/x在x趋于零时的极限的方法是利用洛必达法则。说到洛必达法则，有一个有趣的典故，那就是洛必达法则并非洛必达本人发现的。洛必达是法国贵族家庭出身，虽然热爱数学但是水平有限。于是他就向他的家庭老师，著名的数学家约翰.伯努利表示，愿意花钱冠名其发现的一些数学定理、公式，洛必达法则就是其中之一。利用洛必达法则，对极限分子分母分别求导，(sin[x])’=cos[x],x’=1。所以原来的极限变为cos[x]在x趋于0时的值，也就是1.

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