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两个相似三角形的内切圆的直径比,周长比与面积比有什么关系

发表时间：2024-08-17 23:03:12 来源：网友投稿

两个相似三角形ABC,A'B'C',内切圆O,O',三角形ABC中,内切圆O与AB,BC分别切于E,F点,连接OE,OF,则OE,OF分别垂直于AB,BC,∠BEO=∠BFO=90度,OE=OF=R,BO=BO,BE =BO -OE =BO -R BF =BO -OF =BO -R 所以BE=BF,直角三角形BOE≌直角三角形BOF,∠OBE=∠OBF=∠EBF/2,同理可证明:三角形A'B'C'中,内切圆O'与A'B',B'C'分别切于E',F'点,连接O'E',O'F',则O'E',O'F'分别垂直于A'B',B'C',∠B'E'O'=∠B'F'O'=90度,O'E'=O'F'=R',∠O'B'E'=∠O'B'F'=∠E'B'F'/2,又因为△ABC∽△A'B'C',所以∠EBF=∠E'B'F',∠EBF/2=∠E'B'F'/2,∠OBE=∠O'B'E',∠BEO=∠B'E'O'=90度,∠BOE=90度-∠OBE∠B'O'E'=90度-∠O'B'E',所以△BEO∽△B'E'O',OE/BE=O'E'/B'E',R/R'=BE/B'E';同理可证明△AEO∽△A'E'O',R/R'=AE/A'E';R/R'=BE/B'E'=AE/A'E',BE/AE=B'E'/A'E',(BE+AE)/AE=(B'E'+A'E')/A'E',AB/AE=A'B'/A'E',AE/A'E'=AB/A'B',直径比=R/R'=AE/A'E'=AB/A'B',即两个相似三角形的内切圆的直径比等于两个相似三角形的相似比;周长比=(2πR)/(2πR')=R/R'=AB/A'B',即两个相似三角形的内切圆的周长比等于两个相似三角形的相似比;面积比=πR /(πR' )=(R/R') =(AB/A'B') ,即两个相似三角形的内切圆的面积比等于两个相似三角形的相似比的平方;

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