如何利用概率密度函数求Z的取值范围

首先我们可以通过求解累积分布函数（CDF）来求解Z的密度函数。

(1) 求Z=max{X,Y}的密度函数：对于Z=max{X,Y}，我们可以通过计算其累积分布函数来求解其密度函数。首先我们可以计算Z的CDF，即P(Z≤z)。当z<0时，P(Z≤z)=0，因为Z的取值范围是非负数。当0≤z≤1时，P(Z≤z)=P(max{X,Y}≤z)。根据最大值的性质，我们可以得到以下两种情况：当z≤1时，P(max{X,Y}≤z)=P(X≤z,Y≤z)。由于X和Y是独立的，我们可以将其联合概率密度函数拆分为边缘概率密度函数的乘积：P(X≤z,Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)。根据给定的密度函数，我们可以计算边缘概率密度函数：P(X≤z)=∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dydx。P(Y≤z)=∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dxdy。将f(x,y)代入上述积分式中，我们可以计算出P(X≤z)和P(Y≤z)。当z>1时，P(max{X,Y}≤z)=1，因为Z的取值范围是非负数。综上所述我们可以得到Z的CDF：F(z) = { 0, z < 0 P(X≤z)P(Y≤z), 0 ≤ z ≤ 1 1, z > 1 }然后我们可以对CDF求导数，即可得到Z的密度函数。f(z) = dF(z)/dz对于0 ≤ z ≤ 1，我们可以计算f(z)如下：f(z) = d/dz [P(X≤z)P(Y≤z)]对于z > 1，f(z) = 0。综上所述Z的密度函数为：f(z) = { (1-z)e^z, 0 ≤ z ≤ 1 0, z > 1 }(2) 求Z=min{X,Y}的密度函数：对于Z=min{X,Y}，我们可以通过计算其累积分布函数来求解其密度函数。首先我们可以计算Z的CDF，即P(Z≤z)。当z<0时，P(Z≤z)=0，因为Z的取值范围是非负数。当0≤z≤1时，P(Z≤z)=P(min{X,Y}≤z)。根据最小值的性质，我们可以得到以下两种情况：当z≤1时，P(min{X,Y}≤z)=1-P(X>z,Y>z)。由于X和Y是独立的，我们可以将其联合概率密度函数拆分为边缘概率密度函数的乘积：P(X>z,Y>z)=P(X>z)P(Y>z)。根据给定的密度函数，我们可以计算边缘概率密度函数：P(X>z)=1-P(X≤z)=1-∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dydx。P(Y>z)=1-P(Y≤z)=1-∫[0,z]∫[z,1]f(x,y)dxdy。将f(x,y)代入上述积分式中，我们可以计算出P(X>z)和P(Y>z)。当z>1时，P(min{X,Y}≤z)=1，因为Z的取值范围是非负数。综上所述我们可以得到Z的CDF：F(z) = { 0, z < 0 1-P(X>z)P(Y>z), 0 ≤ z ≤ 1 1, z > 1 }然后我们可以对CDF求导数，即可得到Z的密度函数。f(z) = dF(z)/dz对于0 ≤ z ≤ 1，我们可以计算f(z)如下：f(z) = d/dz [1-P(X>z)P(Y>z)]对于z > 1，f(z) = 0。综上所述Z的密度函数为：f(z) = { (1-z)e^z, 0 ≤ z ≤ 1 0, z > 1 }