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一元三次方程求根公式的推导

发表时间：2024-08-18 14:12:27 来源：网友投稿

由一元三次方程的完整式X³+a1X²+a2X+a3=0 (1)和缺项式X³+pX+q=0 (2)可知，欲将式 (1)转换为式 (2)，需令y=X-a1/3代入式 (1)，得(X-a1/3)³+a1(X-a1/3)²+…=0，化简后，其中含X²的项已经抵消，这样就将问题化为了式(2)的形式了。令X=u+v，于是将其代入式(2)中，则(u+v)³+p(u+v)+q=0 （3），化简易得(u³+v³+q)+(u+v)(3uv+p)=0（4）由于u、v是两个变数，而该处仅置一个方程，为通过u、v确定X，则需设u³+v³+q=0（5）和(u+v)(3uv+p)=0（6），由此得u³+v³=-q，u³v³=-p³/27，依此做一元二次方程Z²+qZ-p³/27=0，则得u³=-q/2+√(q²/4+p³/27)，v³=-q/2-√(q²/4+p³/27)，则方程解应为X=[-q/2+√(q²/4+p³/27)]^(1/3)+[-q/2-√(q²/4+p³/27)]^(1/3)，因为方程根式还有虚数根存在，化简筛选既可得出三个根解。

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