托勒密定理的逆定理如何证明

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意凸四边形abcd中(如右图)，作△abe使∠bae=∠cad∠abe=∠acd,连接de.则△abe∽△acd所以be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd(1)由△abe∽△acd得ad/ac=ae/ab,又∠bac=∠ead,所以△abc∽△aed.bc/ed=ac/ad,即ed·ac=bc·ad(2)(1)+(2),得ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc又因为be+ed≥bd（仅在四边形abcd是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点a、b、c、d的复数，则ab、cd、ad、bc、ac、bd的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(ab)(cd)+(ad)(bc)=(ac)(bd)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与a、b、c、d四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设abcd是圆内接四边形。在弦bc上，圆周角∠bac=∠bdc，而在ab上，∠adb=∠acb。在ac上取一点k，使得∠abk=∠cbd；因为∠abk+∠cbk=∠abc=∠cbd+∠abd，所以∠cbk=∠abd。所以△abk与△dbc相似，同理也有△abd~△kbc。所以ak/ab=cd/bd，且ck/bc=da/bd；所以ak·bd=ab·cd，且ck·bd=bc·da；两式相加，得(ak+ck)·bd=ab·cd+bc·da；但ak+ck=ac，所以ac·bd=ab·cd+bc·da。证毕。

三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形abcd，求证：ac·bd＝ab·cd＋ad·bc．证明：如图1，过c作cp交bd于p，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△acd∽△bcp．得ac：bc=ad：bp，ac·bp=ad·bc①。又∠acb=∠dcp，∠5=∠6，∴△acb∽△dcp．得ac：cd=ab：dp，ac·dp=ab·cd②。

①＋②得ac(bp＋dp)=ab·cd＋ad·bc．即ac·bd=ab·cd＋ad·bc．四、广义托勒密定理：设四边形abcd四边长分别为a,b,c,d,两条对角线长分别为m,n，则有：m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(a+c)