裂纹尖端的应力强度因子及裂纹扩展判据

一、应力强度因子KⅠ与KⅡ的计算断裂力学认为当裂纹尖端的应力强度因子达到材料的断裂韧性时，裂纹就扩展，否则裂纹就不扩展或停止扩展。

所以在利用断裂力学来研究裂纹的扩展问题时，应力强度因子的精确计算是至关重要的。考虑Ⅰ、Ⅱ型混合裂纹的扩展问题，裂纹尖端的应力场和位移场分别为（范天佑，2003）岩石断裂与损伤式中：G为剪切模量；对于平面应力问题k=（3-ν）/（1+ν），对于平面应变问题k=1-4ν，ν为泊松比；KⅠ和KⅡ分别为Ⅰ型和Ⅱ型裂纹尖端的应力强度因子。下面综合利用数值流形方法与奇异边界元法模拟裂纹扩展（Zhang G X et al.，1999），其中应力场和位移场通过二阶流形元方法计算，裂纹尖端的应力强度因子通过奇异边界元计算。具体计算步骤为：

（1）利用二阶流形元方法求出如图12-4（a）所示的含有不连续面的结构的应力和位移。

（2）限定一个至少包含一条裂纹的一个子区域作为问题分析的对象，利用奇异边界元法来求解。把利用二阶流形元法求出的沿子区域边界上的位移作为约束条件，并考虑裂纹面上的无拉力条件，如图12-4（b）所示。

（3）计算出裂纹尖端的应力强度因子，判断裂纹是否扩展，如果裂纹扩展则应更新物理网格和数学网格重新计算。

（4）对下一个这样的子区域进行以上计算。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。应力强度因子的计算方法：对于含有一条裂纹的子区域如图12-4（b）所示，把利用数值流形方法求出的边界位移u-（η）、v-（η）作为其已知的边界位移，这就成了一个边值问题，可采用间接边界元方法来求解。为了形成边界积分方程，需要对下面两类问题的基本解进行讨论。图12-4 裂纹尖端的应力强度因子求解示意图1.无限域内的静力学基本解假设一点载荷作用于复合平面内的一点z=s，如图12-5所示。在与X方向成α角的x1 y1坐标系内一点z处的应力和位移可由Kelvin基本解求得岩石断裂与损伤其中：G为剪切模量，对于平面应变问题κ=3-4ν，平面应力问题κ=（3-ν）/1+ν。图12-5 点载荷作用的无限域平面图12-6 点载荷作用的带裂纹无限域平面2.点载荷作用于裂纹表面时的基本解为了确定裂纹尖端的奇异性，应该采用具有奇异性的基本解。对于一个含有长度为2a的裂纹的无限域问题，当在裂纹表面z=s处受到一对力P=Fy-iFx作用时，如图12-6所示，在x1-y1坐标系内一点z处的应力和位移可通过求解Cauchy问题求得岩石断裂与损伤其中：岩石断裂与损伤3.边界积分方程对于如图12-4（b）所示的子区域，假定有一个分布的虚拟力Q（s）作用于边界Γ，和一个虚拟力P（s）作用于裂纹表面。那么在该子区域中z点的应力和位移可以通过积分方程式（12-5）和式（12-6）来确定：岩石断裂与损伤假设由数值流形方法计算出来的作用于边界Γ上的位移为：，其中，（η）和分别为边界Γ上η点的法向和切向位移。假设式（12-7）中的点z趋向于边界Γ上的η点，即：，这样就可以得到一个在边界Γ上满足已知位移的积分方程：岩石断裂与损伤岩石断裂与损伤另外一个积分方程可以通过使用裂纹边界条件来获得。根据不同形式的裂纹扩展模式，该方程的形式也相应不同。对于Ⅰ型和张-剪型裂纹问题，在裂纹表面的法向和切向方向都应该满足无拉力条件。采用类似于式（12-10a）中的方法，通过假定式（12-9）中的点z趋向于裂纹表面上的点ξ，并假定裂纹表面上的法向应力和切应力均为零，又可以得到如下的积分方程：岩石断裂与损伤对于闭-剪型裂纹问题，裂纹上下表面上的法向位移应该是相同的，而且在切向方向上还应该满足无拉力的自由边界条件：岩石断裂与损伤其中：。利用边界元法求解方程式（12-10）即可得到Q（s）和P（s）。裂纹尖端的应力强度因子KⅠ和KⅡ即可通过式（12-11）求得岩石断裂与损伤在利用通常的数值分析方法如有限元方法来计算裂纹尖端的应力强度因子时，为了捕捉裂纹尖端的奇异性，通常需要加密裂纹尖端的网格划分。而对于本节中所采用的方法，由于奇异面积已经被限制在裂纹尖端附近的一个很小的区域内，并且它对远区域内的应力和位移的影响都是很小的。同时该方法中的应力和位移首先是利用二阶数值流形方法求得，并且在远离裂纹尖端处其精度也可以得到保证。利用已经求出的应力和位移，根据奇异边界元方法就可以求出裂纹尖端的应力强度因子，即使在裂纹尖端处采用较粗的计算网格，利用这种方法也能求得精确很高的应力强度因子。

二、裂纹扩展判据平面问题中的裂纹体受到外载作用之后裂纹面有张开和闭合两种情况出现。无论裂纹面张开或闭合，只要裂纹面上的点有相对位移，裂纹尖端就有应力集中现象出现，这时裂纹体的破坏就不能用传统的强度理论准则来判断，而必须采用相应的断裂力学准则来考虑。实际物体中的裂纹类型往往不是单一性的，通常在裂纹尖端附近可能同时存在着Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型的裂纹应力。这种复合型裂纹的扩展与单纯张开型裂纹的不同之处在于裂纹的扩展往往不是沿着原裂纹面的方向，而是沿着与原裂纹面成某一角度的方向进行。为了解决这一问题，提出了许多种复合型裂纹的脆性断裂理论。当裂纹尖端的应力强度因子为已知时，可以采用最大环向应力理论来建立复合裂纹的断裂准则。环向应力理论假设：裂纹沿环向应力取最大值的方向开始扩展，裂纹的扩展是由于最大环向应力σ达到临界值而产生的。由式（12-3）可以得到Ⅰ-Ⅱ型裂纹尖端的环向极坐标应力分量表达式：岩石断裂与损伤扩展方向角θ0满足，即岩石断裂与损伤由式（12-13）求出裂纹的开裂角θ0后，代入式（12-12）式可求出r=r0圆周上的最大环向应力为岩石断裂与损伤于是可以建立相应的断裂准则：岩石断裂与损伤式中，σθc为最大环向应力的临界值，它可以通过Ⅰ型裂纹的断裂韧度KⅠC来确定：岩石断裂与损伤综合考虑式（1214）～式（1216），可以得到按最大环向应力理论建立起来的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹的断裂准则：岩石断裂与损伤式中：Keq和KⅠC分别为裂纹尖端的等效应力强度因子和断裂韧度。