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全错位排列公式推导

发表时间：2024-08-18 20:25:31 来源：网友投稿

全错位排列公式推导如下：当k排在第n位时，除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn-2。

当k不排在第n位时，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，这时的包括k在内的剩下n-1个数的每一种错排，都等价于只有n-1个数时的错排（只是其中的第k位会换成第n位）。其错排数为Dn-1。对于情况较少的排列，可以使用枚举法。当n=1时，全排列只有一种，不是错排，D1=0。当n=2时，全排列有两种，即1、2和2、1，后者是错排，D2=1。当n=3时，全排列有六种，即1、2、3；13、2；21、3；23、1；31、2；32、1，其中只有有3、1、2和2、3、1是错排，D3=2。用同样的方法可以知道D4=9。全错位排列被著名数学家欧拉(LeonhardEuler，1707－1783)称为“组合数论的一个妙题”的“装错信封问题”的两个特例。大意如下：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

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