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立方数列求和公式

发表时间：2024-08-18 22:25:49 来源：网友投稿

立方数列的求和公式为：$1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$其中，$n$ 为项数。

立方数列的扩展：若想求解 $1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$ 的和，其中 $k$ 为正整数，则可以通过重复使用差分的方法，将其转化为求解多次相邻项的差的问题。例如在求 $1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + n^4$ 的和时，根据差分原理，我们可以得到：$$\begin{aligned} & \quad 1^4 & + & 2^4 & + & 3^4 & + & \cdots & + & n^4 \\ & - & 0^4 & - & 1^4 & - & 2^4 & - & \cdots & - & (n-1)^4 \\ & = & 1^4 & + & (2^4 - 1^4) & + & (3^4 - 2^4) & + & \cdots & + & (n^4 - (n-1)^4) \\ &= & 1^4 & + & 15 & + & 47 & + & \cdots & + & (n^4 - (n-1)^4) \end{aligned} $$根据立方数列求和公式 $\forall k \geq 2, 1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k = \frac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k}i{i+1 \choose k+1}n^{i+1}$，我们可以知道：$1^4 + 15 + 47 + \cdots + (n^4 - (n-1)^4) = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{4}i{i+1 \choose 5}(n+1)^{i+1}$然后我们可以依次求解出 $1^k + 2^k + 3^k + \cdots + n^k$ 的和。

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