1996年第11届中国数学奥林匹克（CMO）

发表时间：2024-08-20 04:34:07 来源：网友投稿

对任意实数x,y,有f(x^3+y^3)=(x+y)((f²(x)-f(x)*f(y)+f²(y))①

在①中取x=y=0,有f(0)=0

在①中取x=1,y=0,有f(1)=0或1

在①中取y=0,有f(x³)=xf²(x)②

定义集合S如下:S中所有元素由满足下面条件的正数a组成:对于任意实数x,有f(ax)=a*f(x)

首先证明,若a³∈S,则a∈S

事实上,由a∈S,得f(a³*x³)=a³*f(x³)

利用②,有ax*f²(ax)=a³*xf²(x)

于是当x≠0时有f²(ax)=a²*f²(x)③

由②可知f(x³)与x同号,所以f(x)与x同号,进而f(ax),a*f(x)都与ax同号,于是利用③得当x≠0时f(ax)=af(x)

显然上式对x=0也成立

所以a∈S

其次证明,若a³,b³∈S,则a³+b³∈S

事实上,由a³,b³∈S知a,b∈S,于是对于任意实数x,

f((a³+b³)x³)=(ax+bx)(f²(ax)-f(ax)*f(bx)+f²(bx))

=(ax+bx)(a²*f²(x)-af(x)*bf(x)+b²*f²(x))

=(a³+b³)*xf²(x)=(a³+b³)f(x³),

从而a³+b³∈S

最后利用数学归纳法证明任意正整数n∈S

事实上,n=1显然成立

假设n=1,2,...,k成立,则令a³=1,b³=k,有a³+b³=1+k∈S

所以对于任意正整数n和任意实数x,有f(nx)=nf(x)④

下面分f(1)=0,1两种情形讨论

(1)f(1)=1

利用④有f(n)=n对于任意正整数n成立

又在④中取x=m/n,有f(m/n)=m/n对于任意正整数m,n成立

在①中取x=2,y=-1,有7=4-2f(-1)+f²(-1)

又f(-1)与-1同号,所以f(-1)=-1

于是利用④有f(n)=n对于任意负整数n成立

又在④中取x=m/n,n为任意正整数,m为任意负整数,有f(m/n)=m/n

再结合f(0)=0,有f(x)=x对于任意x∈Q成立

最后对于任意无理数x,取收敛于x的有理数列{An},有f(An)=An

在f(An)=An中,令n趋于正无穷,取极限得f(x)=x

综上,当f(1)=1时,对于任意实数x,有f(x)=x

(2)f(1)=0

仿上可证明对于任意实数x,有f(x)=0

免责声明：本站发布的教育资讯（图片、视频和文字）以本站原创、转载和分享为主，文章观点不代表本网站立场。

如果本文侵犯了您的权益，请联系底部站长邮箱进行举报反馈，一经查实，我们将在第一时间处理，感谢您对本站的关注！